Descripción General
En esta asignatura el estudiante adquiere los fundamentos de la teoría de bifurcaciones de sistemas dinámicos a tiempo continuo y discreto, desarrollando habilidades de análisis sobre la ocurrencia, genericidad, transversalidad y posibles deformaciones, obteniendo información sobre rutas al caos, y sobre cambios geométricos y topológicos en familias de sistemas dinámicos que dependen de parámetros.
Contenidos Específicos
Teoría
- Definiciones y herramientas básicas: Diagrama de bifurcación, Codimensión, Deformación de una bifurcación, Teorema de la forma normal y Forma normal topológica de una bifurcación.
- Teoría de bifurcaciones locales de codimensión uno: Fold, transcrítica, pitchfork, flip, Andronov-Hopf, Neimark-Sacker. Condiciones de genericidad y transversalidad.
- Teoría de la variedad central: Teorema de reducción de dimensión. Variedades centrales en sistemas que dependen de parámetros.
Bifurcaciones
- Bifurcaciones globales en sistemas continuos: Órbitas homoclínicas y heteroclínicas, Teorema de Andronov-Leontovich, Bifurcaciones homoclínicas en R3, Teoremas y caos homoclínico de Shilnikov.
- Otras bifurcaciones a un parámetro: Bifurcaciones de órbitas homoclínicas a ciclos, tangencias homoclínicas y enredos homoclínicos, Bifurcaciones en toros invariantes, Número de rotación, Lenguas de Arnold.
- Bifurcaciones locales de codimensión dos: Cusp, Hopf degenerada, Bogdanov-Takens, fold-Hopf, flip generalizada, resonancias fuertes.
Información Académica
Prerrequisitos
Es indispensable un manejo de sistemas dinámicos, existencia y estabilidad de puntos de equilibrio, órbitas periódicas, conjuntos caóticos, etc. Además de un control sobre bifurcaciones locales de un sistema, deduciendo los posibles cambios topológicos de un retrato de fase.
Bibliografía
Como bibliografía básica Guckenheimer J., & Holmes, P. (1986) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields y Hale, J. & Koçak, H. (1991) Dynamics and Bifurcations. Como bibliografía recomendada Arrowsmith, D. K., & Place, C. M. (2011) An Introduction to Dynamical Systems.
Dedicación
Ramo de alta carga teórica. Se estima un estudio personal de al menos 9 horas semanales para asimilar los conceptos.