Descripción General
En esta asignatura se comprenderán los fundamentos de la teoría moderna de sistemas dinámicos no lineales y caos, y sus aplicaciones. El estudiante aplicará diversos métodos analíticos y geométricos para obtener información cuantitativa y cualitativa sobre el comportamiento de un sistema dinámico, identificando bifurcaciones y dinámica caótica de un sistema, y describiendo sus consecuencias en modelos matemáticos.
Contenidos Específicos
Análisis
- Análisis Local: Hiperbolicidad, Teorema de Hartman-Grobman. Aplicación de retorno de Poincaré. Ecuación variacional y teoría de Floquet. Bifurcaciones locales en sistemas continuos y discretos.
- Análisis Global: Variedades invariantes. Teorema de la variedad estable. Conexiones homoclínicas y heteroclínicas. Puntos no-errantes. Atractores. Separatrices y cuencas de atracción. Osciladores acoplados. Dinámica cuasiperiódica. Oscilaciones forzadas. Teorema de Peixoto. Sistemas de Morse-Smale.
Conceptos Básicos y Caos
- Conceptos básicos: Espacios de fase. Campos de vectores, flujos y difeomorfismos. Retratos de fase, equivalencia y conjugación topológica. Conjuntos invariantes.
- Elementos de la Teoría del Caos: Sensibilidad a las condiciones iniciales. Transitividad. Rutas al caos. Conjuntos invariantes tipo Cantor. Dinámica simbólica. Herradura de Smale.
Información Académica
Prerrequisitos
Es indispensable un manejo de análisis matemático en espacios métricos, espacios topológicos y espacios vectoriales normados. Además de poder analizar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales.
Bibliografía
Como bibliografía básica Devaney, R. L. (2003) An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Como bibliografía recomendada Arrowsmith, D. K., & Place, C. M. (2011) An Introduction to Dynamical Systems.
Dedicación
Ramo de alta carga teórica. Se estima un estudio personal de al menos 9 horas semanales para asimilar los conceptos.